Calcolo e probabilità nel gioco di azzardo casino

Calcoli fatti in questo periodo sono calcoli di probabilità classica, cioè la probabilità a priori che qualcosa possa accadere. Ma c'è un altro approccio, il tipi empirico, che estrapola da tabelle di eventi le frequenze con cui si sono verificati.
  Esiste una legge, cosiddetta dei "grandi numeri", che (nessuno sa in termini colloquiali e senza l'utilizzo di metodi matematici) dichiara che le teoriche probabilità saranno pari alle frequenze osservate solo per una casistica elevata di uscite, ci sarà la coincidenza fra frequenza sperimentali e probabilità teoriche.

  Se si volesse utilizzare la probabilità dei grandi numeri con un più esatto metodo matematico, dovrebbe asserire che è fattibile calcolare l'entità di quanto distante l'effettiva frequenza dalla calcolata probabilità nelle variazioni del numero estratto e che questo numero diminuirà in modo proporzionale all'aumento delle estrazioni.

 Non c'è qui l'eventualità di questionare l'intero sistema matematico, ma il lettore deve sapere che è possibile trovare sorprese contro intuitive di una rigorosa applicazione delle legge dei grandi numeri ("lo scarto proporzionalmente diminuisce, ma può aumentare in valore assoluto").

  Lanciando una moneta ben bilanciata 100 volte, non bisogna quindi meravigliarsi se sono uscite 55 Teste e 45 Croci. La frequenza dell'evento Testa in questa sequenza di lanci è 0,55, in che 0,50 come previsto con l'applicazione delle probabilità, ma le fluttuazioni intorno al valore previsto sono possibili ed è possibile misurarne le probabilità che si verifichi in un certo intervallo ("la probabilità che si verifichi in una probabilità" per gli amanti del gioco di parole").

  Credere in una natura uniforme, che tende sempre a fornire eventi casuali con una frequenza che è pari esattamente a quanto previsto da un calcolo a priori delle probabilità, è uno degli errori di percezioni più comuni. L'errore diventa pericoloso, se si comincia a credere che dopo che si sono avute 10 Teste consecutive dal lancio di una moneta, l'evento Croce sia divenuto più probabile, un evento che di solito è comunemente chiamato ritardatario.

  E' semplice contestare questa teoria dei "numeri ritardatari" ricordando che che le monete non hanno ricordi, come non ce l'hanno i dadi, la roulette, le carte insomma i giochi di azzardo. Al prossimo lancio, la probabilità di avere Croce sarà sempre pari a quella di avere Testa, cioè 1/2. La critica di chi crede invece a una memoria delle monete è la seguente: "Non possono uscire 10 Teste e mai Croci", perché nel lungo, può significare certamente un numero molto alto di estrazioni, milioni e milioni di lanci. Adesso sono uscite 10 Teste. Magari fra un anno, usciranno 15 Croci che sbilanceranno gli eventi nel lungo periodo. Se una certa roulette ha dato 200 Rossi e 150 Neri, forse ci vorranno sette giorni perché restituisca 1.100 neri e 1.150 Rossi, o forse un anno, o 10 anni, se non 20 anni o un secolo. Spesso (troppo) l'esperienza del tempo di un giocatore non è tale da potere capire o vedere le compensazioni di un solo giorno o serata.

  Guardando due giocatori che stanno giocando a Testa e Croce con una moneta, può anche capitare che uno dei due stia vincendo, o per una fortuna di egualitarismo, o di giustizia naturale, un osservatore si augura che chi ha vinto prima, poi debba perdere. Il desiderio di una giustizia naturale non ha nessun influsso su ciò che faranno le monete, che dovranno sempre la loro probabilità di uscita e non ricorderanno ciò che è avvenuto in precedenza.   Tutto ciò può essere descritto in maniera più sistematica con le così dette catene di Markov, dal nome del matematico che per primo le studiò. Si supponga di lanciare una moneta e di spostarsi in avanti se esce Testa, all'indietro se esce Croce.

  Una domanda potrebbe essere: "Dove sarà il giocatore dopo un certo numero di lanci?" Chi crede in una natura uniforme potrebbe essere portato a pensare che il giocatore sarà sempre nello stesso punto ("uno po' andrà avanti, un po' andrà indietro... siccome devono uscire tante Teste quante Croci, rimarrà al punto di partenza"). Alla lunga, secondo la legge dei grandi numeri, sarà anche vero, ma in dettagliatamente, in modo locale, possono succedere molte situazioni. Senza entrare in complicati calcoli, è possibile calcolare in una catena di Markov la probabilità che un certo giocatore si sposti di una certa distanza dalla posizione di partenza. Ad esempio, è semplice capirlo per un viaggio di tre passi avanti.
  Basta che esca una sequenza Testa-Testa-Testa, cioè 1 volta su 8 se si considerino appena 3 lanci. Se si considerano più lanci, il calcolo diventa più complesso, ma non è il casi di approfondire. Si può poi calcolare con precisione, dato un certo numero di estrazioni, qual'é la probabilità che un giocatore trascorra in svantaggio (in vantaggio) una certo determinato arco del suo tempo.
  Chi crede in una natura uniforme sarà portato a pensare che per metà del suo tempo un giocatore sarà in vantaggio e per l'altra metà no. Tuttavia, quando si  cerca di analizzare le catene di "Markov", un risultato oltremodo non atteso è che sufficientemente usuale trovare che gran parte del tempo un giocatore starà più avanti che indietro, o viceversa. Un giocatore che parte in vantaggio, spesso rimane in vantaggio per gran parte della partita. Si può, quindi, valutare, sempre in termini di probabilistici, le fluttuazioni possibili dei valori osservati dai valori stessi.

La rovina del giocatore
Un altro interessante risultato legato alle catene di Markov è il cosiddetto "teorema della rovina del giocatore di azzardo", un risultato che era già stato enunciato sin dal 18° secolo da Bernoulli, De Moivre, Lagrange e Leplace.
  Supponiamo che giocatori A e B giochino con le seguenti regole: ogni giocatore ha una sua riserva di monete. Si gira una roulette, giocando sull'uscita di Rosso o Nero (si potrebbe anche fare con una moneta). Se esce Rosso, A da a B una moneta; se esce Nero, B dà ad A una moneta. Il primo che perde tutte le monete, ha perso. In altre parole, in questo gioco non è ammesso il credito (come avviene nei casino, a meno che non siate un cliente speciale), cioè quando una termina le sue monete ha perso senza possibilità di recupero. Sembrerebbe un gioco equo (in fondo le monete si spostano da un giocatore all'altro sulla base del più equo degli eventi), ma si può dimostrare che chi possiede meno monete è destinato ad essere sconfitto (il casinò online o tradizionale sicuramente ne ha di più) più spesso di chi ne ha di più.
  Supponiamo ad esempio che A abbia 5 monete e B 10. Chi ne ha 5 è destinato a perdere molto più spesso di chi ne ha 10. Si può dimostrare che chi possiede 5 monete ha probabilità di vincere pari a 5/(10+5)=1/3. L'altro avrà probabilità di vincere pari a 10/(10+5)=2/3 (in effetti è l'evento complementare). Per completezza, si può anche dire che è possibile calcolare con precisione la durata media del gioco prima che un giocatore vada in rovina.

  Intuitivamente la questione è anche semplice da capire. Alla lunga, ci si potrebbe anche attendere che i giocatori rimarranno con un capitale che è abbastanza simile al loro capitale iniziale (un po' si vince, un po' si perde), ma ci saranno sicuramente delle fluttuazioni rispetto alla posizione media, momenti fortunati per uno e sfortunati per un altro, momenti in cui nella roulette il Rosso è più frequente del Nero. Basta allora una sequenza in cui ci sono 5 Neri in più (ad esempio 15 Neri e 10 Rossi, anche ben mescolati fra loro) per far fallire il primo giocatore, mentre invece ci vorrà una sequenza di 10 Rossi in più per far fallire chi aveva 10 monete. Potrebbe anche essere che così non sia magari escono subito tanti Rosso, chi aveva meno monete capovolge la situazione e passa in vantaggio, ma è da aspettarsi nel lungo periodo che chi ha meno monete sia sempre più in difficoltà.
 In altre parole, le fluttuazioni probabilistiche sono meno supportabili (o più pesanti) per il giocatore che ha meno disponibilità economica.

  Cosa accadrebbe se un giocatore avesse disponibilità economica molto più grande dell'altro? Il suo vantaggio sarebbe molto forte. Un cliente di casinò che dispone di capitali infiniti, non sarebbe mai perdente. Questo è uno dei motivi per cui un casinò online o tradizionale non può perdere, perché dispone di capitali quasi illimitati o per lo meno più grande dei suoi clienti. Il giocatore può avere cicli positivi e negativi, ma quando entra in ciclo negativo, e ha perso il suo limitato capitale, va fuori dal gioco e non può aspettare che arrivi il suo ciclo positivo.

  Per essere concreti, si supponga un giocatore tranquillo, che ha una disponibilità di 100 euro e scommette sempre un euro sul Rosso. Potrebbe capitare che escano subito 200 Neri e 100 rossi. Vuol dire che ha perso i suoi soldi e se ne va scornato. Di li a poco la roulette "spara" 450 Rossi Neri, ma il nostro paziente scommettitore non è più li ad approfittarne, perché ha già perso tutto ciò che aveva.

  Un sequenza di eventi negativi causa la rovina del giocatore. Una sequenza di eventi positivi è invece il suo momento fortunato, il momento tanto atteso, quello in cui è possibile rifarsi sul casinò, che però, vista la sua grande disponibilità economica, può supportare molte e forti perdite.
  Un altro effetto che va a favore dei casinò, poco matematico ma molto psicologico, vuole che quando i giocatori stanno vincendo, non si sentano ma i di mollare la presa. Quello è il momento in cui "sentono" (purtroppo per loro) che possono rifarsi delle sconfitte e delle umiliazioni, sentono che possono sbancare il casino , non si rendono conto che sono nella parte positiva della catena di Markov, quella delle vincite, e che fra un po' il vento potrebbe girare. Spesso perdono tutto ciò che avevano in un primo momento accumulato.

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